CRONOGRAMA

CÁLCULO II

    

INFORMACIÓN GENERAL 1)Denominación:     Cálculo II 2)Facultades:            Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Industrial,       Ingeniería Mecánica, Ingeniería de Sistemas Computacionales y,       Ciencias y Tecnología. 3)Carreras:                Licenciatura en Ingeniería 4)Semestre:              Segundo 5)Código:                  7988 6)Frecuencia semanal: Teoría: 5 hrs. 7)Créditos:    5 8)Requisitos:          Cálculo I CCRONOGRAMA        CONTENIDO Tiempo Probable Horas Probable Fechas programadas de parciales Módulo N°0 Integración (Incluir las integrales de funciones exponenciales y logarítmicas y área) 17 de agosto al 5 de septiembre   15 horas Aplicación del 1er Parcial: Semana del 1 de septiembre Módulo N°1   1. Aplicaciones de la Integral     Volumen de Sólidos de Revolución. 2. Funciones Trigonométricas Inversas y Funciones Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas.     7 de septiembre al 2 de octubre         20 horas   Aplicación del 2do Parcial: Semana del 28 de septiembre     Módulo N°2   3.  Técnicas de Integración     5 de octubre al 30 de octubre       20 horas   Aplicación del 3er Parcial: Semana del 26 de octubre   Módulo N°3 4.  Formas Indeterminadas e Integrales Impropias 6 de noviembre al 20 de noviembre   12 horas   Aplicación del 4to Parcial: Semana del 16 de noviembre Módulo N°4 5.  Series Infinitas 23 de noviembre al   4 de diciembre   13 horas Se evaluará en la prueba semestral PROGRAMA   Módulo N°0 (15 horas incluyendo parcial)       0.   INTEGRAL DEFINIDA                                                     0.1 Antidiferenciación. Antidiferenciación por sustitución.             0.2 Área e integral definida.  Concepto y propiedades.             0.3 Teorema fundamental del cálculo.             0.4 Integrales de las funciones trigonométricas.             0.5 Integrales que conducen a la función logaritmo natural.              0.6 Integrales de funciones exponenciales.             0.7 Integrales que conducen a una función logarítmica.             0.8 Área de la región entre curvas.       Módulo N°1 (20 horas incluyendo parcial) 1.APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA                          1.1 Volumen de un sólido de revolución:  1.1.1Método del disco 1.1.2Método del anillo 1.1.3Método de las capas cilíndricas 2.FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS                                               2.1.Funciones trigonométricas inversas.  Definición, gráficas y derivadas. 2.2.Integrales que producen funciones trigonométricas inversas. 2.3.Funciones hiperbólicas.  Definición, identidades gráficas y derivadas.  2.4.Integrales de funciones hiperbólicas. 2.5.Funciones hiperbólicas inversas.  Definición, identidades, gráficas y derivadas. 2.6.Integrales que producen funciones hiperbólicas inversas. Módulo N°2 (20 horas incluyendo parcial) 3.TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN                       3.3.1.Integración por partes. 3.2.Integración de potencias de funciones trigonométricas. 3.3.Integración por sustitución trigonométrica. 3.4.Integración de funciones racionales por fracciones parciales, cuando el denominador     tiene factores lineales solamente. 3.5.Integración de funciones racionales por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadráticos.              Módulo N°3  (12 horas incluyendo parcial) 4.FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS.              4.1 Formas indeterminadas     Regla de L`Hôpital.           4.2 Otras formas indeterminadas:             4.1.Integrales impropias con límites de integración infinitos.          4.2.Integrales impropias con integrandos infinitos. Módulo N°4 (13 horas incluyendo parcial) 5.SERIES INFINITAS 5.1.Conceptos básicos sobre sucesiones. 5.2.Convergencia de sucesiones. 5.3.Series infinitas convergentes o divergentes. 5.3.1.Criterio para la divergencia. 5.3.2.Criterio de n-ésima suma parcial. 5.3.3.Series especiales: aritmética, geométrica y armónica. 5.4.Propiedades de las series infinitas. 5.5.Diferentes criterios de convergencia de series de términos positivos. 5.5.1.Criterio de la integral 5.5.2.Criterios de comparación 5.6.Series alternantes. 5.6.1.Criterio para las series alternantes. 5.7.Convergencia absoluta. 5.8.Criterio de la razón y de la raíz. 5.9.Series de potencias. 5.9.1Radio de convergencia. 5.9.2Intervalo de convergencia. 5.10.Fórmula de Taylor, Series de Taylor y Maclaurin. 5.11.Aplicaciones. 5.11.1Derivación e integración de series de potencias.                             5.11.2 Soluciones de integrales definidas mediante series de Maclaurin.   VII.BIBLIOGRAFÍA Textos Recomendado:  Larson, Ron/ Bruce Edwards  Cálculo, Tomo I.  Editorial Cengage. Décima Edición, 2014. Libros de Consulta: 1)Aguilar Arturo y otros Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Prentice Hall-Pearson, Primera Edición, 2010 2)James Stewart Cálculo, Conceptos y Contextos. Thomson y Learning, 1999.  3)Larson, Hostetler Cálculo y Geometría Analítica.  Volumen 1. Sexta Edición.  McGraw-Hill.  1999. 4)Leithold, Louis El Cálculo. Editorial Oxford. Séptima Edición. 1998 5)Purcell, Edwin, Dale Varberg y Steven Rigdon Cálculo.  Editorial Prentice Hall. Sexta Edición. 2001. 6)Thomas, George Cálculo de una Variable.   9ª Edición.  Addison Wesley Longman. México. 1998. 7)Ayres, Frank Jr. y Elliott Mendelson Cálculo. Cuarta  Edición. McGraw-Hill.  2000. 8)Smith, Robert Cálculo.  Tomo I. McGraw-Hill. 2000 9)Stefan Waner y Steven R Costenoble Cálculo Aplicado. Segunda edición, editorial Thomson y Learning.

MÓDULO 1

Módulo N°1  (20 horas)

         *REPASO DE ÁREA ENTRE CURVAS

1.   APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA                         

1.1   Volumen de un sólido de revolución:

1.1.1                           Método del disco

1.1.2                           Método del anillo

1.1.3                           Método de las capas cilíndricas

2.   FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS                                              

2.1.Funciones trigonométricas inversas.  Definición, gráficas y derivadas.

2.2.Integrales que producen funciones trigonométricas inversas.

2.3.Funciones hiperbólicas.  Definición, identidades gráficas y derivadas.

2.4.Integrales de funciones hiperbólicas.

2.5.Funciones hiperbólicas inversas.  Definición, identidades, gráficas y derivadas.

2.6.Integrales que producen funciones hiperbólicas inversas.

DESCRIPCIÓN 

Método para encontrar el área entre dos curvas mediante el uso de la integral definida
Para resolver este problema antes de proceder a integrar se hace necesario encontrar los puntos de intersección para conocer los límites de integración.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2. Obtén el área limitada entre las curvas

EJEMPLO 3 Encontrar el área entre las curvas 

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Calcular el área limitada por la curva y = x² -5x + 6 y la recta y = 2x.

2. Calcular el área limitada por la parábola y² = 4x y la recta y = x.

3. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x² e y = −x² + 4x.

4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x² − 2x, y = −x² + 4x.

5. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x²) y la recta y = −1.

6. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

7. Calcular el área limitado por la curva 3x² + 16y – 48 = 0    con    x² - y² = 16

8. Calcular el área limitada por y = x²  con la recta y = 2x + 3

9. Calcular el área limitada por  y = x² + 2x - 1 con la recta y = - x - 1

10. Calcular el área limitada por y² = 4x con la recta y = 2x - 4

11. Calcular el área limitada por  y = x² con la recta y = 3 - 2x

12. Calcular el área limitada por  con y = x²

^{VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIÓN}

Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.

MÉTODO DEL DISCO 

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

VOLUMEN DEL DISCO = Wr²Π

^{Formula de volumen por discos.}

EJEMPLO

Cual es la figura que se forma al hacer rotar la región R acotada por las gráficas de y = x²  ,  x= 1  y = 0

MÉTODO DE LA ARANDELA

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura generando un hueco o agujero.

Fórmula de volumen por el método de arandela

^Ejemplo
Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x², y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

MÉTODO DE CAPAS O CASQUETES CILÍNDRICOS

Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r₁ y cuyo radio exterior es r_2. Naturalmente procedemos restando el volumen V₁ del cilindro interior al volumen V₂del cilindro exterior, así:

Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

Ejemplo 1

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x³ + 4x² − 3x + 1 y la vertical x = 3. 

En  este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x³ + 4x² − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) 

Ejemplo 2

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x² + 4x − 3, por la cúbica y = x³ − 6x² + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

En este caso, a diferencia del ejemplo anterior,  hay dos funciones involucradas que son:

El sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje y está limitado arriba y abajo por dos superficies de revolución curvas y en la parte interior y en la exterior por dos superficies cilíndricas.

Consideremos ahora que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados, como antes, los  unos dentro de los otros. Esta vez los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x, puesto que  su base inferior está situada en la parábola y = − x² + 4x − 3 mientras que su base superior está situada en la cúbica y = x³ − 6x² + 12x − 5 . Por lo tanto, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura 

 Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral:

^{PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS}

1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

2. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x², y = −x + 2.

3. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x², y = x.

4. Hallar el volumen engendrado por el círculo x² + y² − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.

5. Calcule el volumen del solido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la parábola

 y =x² ; x = y²     y la recta x = 3

^6. Encuentre el volumen del solido de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región plana , acotada por y = Vx, el eje x y la recta x = 4.

^{FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS}

Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas. Así las gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una 1-a-1.

Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar todos los valores del rango.

Denotamos la función inversa como y = sin^–1x. Se lee y es la inversa del seno de x y significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Pero tenga cuidado con la notación usada. El superíndice “^–1” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos libros usan y = arcsin x como notación.

Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de la función seno

Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el dominio estárestringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de 1^er cuadrante y todos los valores negativos nos arrojará un ángulo de 4^tocuadrante.

Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y tangente para hacerlas 1-a-1.

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1^er cuadrante y un valor negativo nos arrojará un ángulo de 2^do cuadrante.

^{DERIVADAS - INTEGRALES que producen funciones trigonométricas inversas}

Hallar las derivadas de:

1) y = x3 arcSenx 2) y = Cos-1 (x2) 3) y = (tan-1x)4

4) y = arcCot √x 5) y = Sec-1 (ln x) 6) y = arcCsc(πx)

PROBLEMAS PROPUESTOS

 



^{FUNCIONES HIPERBÓLICAS} 
En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:

La función f:R →R, definida por:

f(x) = senh x = , se denomina función seno hiperbólico.

f(x) = cosh x = , se denomina función coseno hiperbólico.

f(x) = tgh x = , se llama función tangente hiperbólico.

f(x) = cotgh x = , se llama función cotangente hiperbólico.

f(x) = sech x = , se llama función secante hiperbólico.

f(x) = cosch x = , se llama función cosecante hiperbólico.

^GRÁFICAS

^DERIVADAS

Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh x

Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh x

Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sech²x

Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = - cosch²x

Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x tgh x

Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - csch x cotgh x

^INTEGRALES
∫senhx dx = coshx+C

∫coshx dx = senhx+C


∫tanhx dx = –ln|coshx|+C


∫sechx dx = arctan(senhx)+C


∫cschx dx = ln|tanh(½x)|+C


∫sech²x dx = tanhx+C


<sup>HIPERBÓLICAS INVERSAS

DERIVADAS</sup>

INTEGRALES