MÓDULO 1

Módulo N°1  (20 horas)

         *REPASO DE ÁREA ENTRE CURVAS

1.   APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA                         

1.1   Volumen de un sólido de revolución:

1.1.1                           Método del disco

1.1.2                           Método del anillo

1.1.3                           Método de las capas cilíndricas

2.   FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS                                              

2.1.Funciones trigonométricas inversas.  Definición, gráficas y derivadas.

2.2.Integrales que producen funciones trigonométricas inversas.

2.3.Funciones hiperbólicas.  Definición, identidades gráficas y derivadas.

2.4.Integrales de funciones hiperbólicas.

2.5.Funciones hiperbólicas inversas.  Definición, identidades, gráficas y derivadas.

2.6.Integrales que producen funciones hiperbólicas inversas.

DESCRIPCIÓN 

Método para encontrar el área entre dos curvas mediante el uso de la integral definida
Para resolver este problema antes de proceder a integrar se hace necesario encontrar los puntos de intersección para conocer los límites de integración.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2. Obtén el área limitada entre las curvas

EJEMPLO 3 Encontrar el área entre las curvas 

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Calcular el área limitada por la curva y = x² -5x + 6 y la recta y = 2x.

2. Calcular el área limitada por la parábola y² = 4x y la recta y = x.

3. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x² e y = −x² + 4x.

4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x² − 2x, y = −x² + 4x.

5. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x²) y la recta y = −1.

6. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

7. Calcular el área limitado por la curva 3x² + 16y – 48 = 0    con    x² - y² = 16

8. Calcular el área limitada por y = x²  con la recta y = 2x + 3

9. Calcular el área limitada por  y = x² + 2x - 1 con la recta y = - x - 1

10. Calcular el área limitada por y² = 4x con la recta y = 2x - 4

11. Calcular el área limitada por  y = x² con la recta y = 3 - 2x

12. Calcular el área limitada por  con y = x²

^{VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCIÓN}

Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.

MÉTODO DEL DISCO 

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

VOLUMEN DEL DISCO = Wr²Π

^{Formula de volumen por discos.}

EJEMPLO

Cual es la figura que se forma al hacer rotar la región R acotada por las gráficas de y = x²  ,  x= 1  y = 0

MÉTODO DE LA ARANDELA

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura generando un hueco o agujero.

Fórmula de volumen por el método de arandela

^Ejemplo
Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x², y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

MÉTODO DE CAPAS O CASQUETES CILÍNDRICOS

Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r₁ y cuyo radio exterior es r_2. Naturalmente procedemos restando el volumen V₁ del cilindro interior al volumen V₂del cilindro exterior, así:

Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

Ejemplo 1

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x³ + 4x² − 3x + 1 y la vertical x = 3. 

En  este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x³ + 4x² − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) 

Ejemplo 2

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x² + 4x − 3, por la cúbica y = x³ − 6x² + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

En este caso, a diferencia del ejemplo anterior,  hay dos funciones involucradas que son:

El sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje y está limitado arriba y abajo por dos superficies de revolución curvas y en la parte interior y en la exterior por dos superficies cilíndricas.

Consideremos ahora que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados, como antes, los  unos dentro de los otros. Esta vez los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x, puesto que  su base inferior está situada en la parábola y = − x² + 4x − 3 mientras que su base superior está situada en la cúbica y = x³ − 6x² + 12x − 5 . Por lo tanto, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura 

 Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral:

^{PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS}

1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

2. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x², y = −x + 2.

3. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x², y = x.

4. Hallar el volumen engendrado por el círculo x² + y² − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.

5. Calcule el volumen del solido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la parábola

 y =x² ; x = y²     y la recta x = 3

^6. Encuentre el volumen del solido de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región plana , acotada por y = Vx, el eje x y la recta x = 4.

^{FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS}

Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas. Así las gráficas de ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a hacer de ella una 1-a-1.

Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar todos los valores del rango.

Denotamos la función inversa como y = sin^–1x. Se lee y es la inversa del seno de x y significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x. Pero tenga cuidado con la notación usada. El superíndice “^–1” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos libros usan y = arcsin x como notación.

Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de la función seno

Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el dominio estárestringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de 1^er cuadrante y todos los valores negativos nos arrojará un ángulo de 4^tocuadrante.

Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y tangente para hacerlas 1-a-1.

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1^er cuadrante y un valor negativo nos arrojará un ángulo de 2^do cuadrante.

^{DERIVADAS - INTEGRALES que producen funciones trigonométricas inversas}

Hallar las derivadas de:

1) y = x3 arcSenx 2) y = Cos-1 (x2) 3) y = (tan-1x)4

4) y = arcCot √x 5) y = Sec-1 (ln x) 6) y = arcCsc(πx)

PROBLEMAS PROPUESTOS

 



^{FUNCIONES HIPERBÓLICAS} 
En ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En tales ecuaciones, se acostumbra escribir el modelo matemático que le corresponde utilizando las funciones hiperbólicas definidas como sigue:

La función f:R →R, definida por:

f(x) = senh x = , se denomina función seno hiperbólico.

f(x) = cosh x = , se denomina función coseno hiperbólico.

f(x) = tgh x = , se llama función tangente hiperbólico.

f(x) = cotgh x = , se llama función cotangente hiperbólico.

f(x) = sech x = , se llama función secante hiperbólico.

f(x) = cosch x = , se llama función cosecante hiperbólico.

^GRÁFICAS

^DERIVADAS

Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh x

Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh x

Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sech²x

Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = - cosch²x

Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x tgh x

Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - csch x cotgh x

^INTEGRALES
∫senhx dx = coshx+C

∫coshx dx = senhx+C


∫tanhx dx = –ln|coshx|+C


∫sechx dx = arctan(senhx)+C


∫cschx dx = ln|tanh(½x)|+C


∫sech²x dx = tanhx+C


<sup>HIPERBÓLICAS INVERSAS

DERIVADAS</sup>

INTEGRALES